Question

9．已知A、B、C、D四點的坐標分別是A（3，0），B（0，3），C（sinα，cosα），D（1，1）．
（Ⅰ）若|AC|=|BC|，求$\frac{4sinα-2cosα}{5cosα+3sinα}$的值；
（Ⅱ）若|CD|²=$\frac{5}{3}$，求$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{1+tanα}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用線段長度相等，建立三角方程，即可求tanα=1，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡所求即可計算求值得解．
（Ⅱ）利用|CD|²=$\frac{5}{3}$，求出sinα+cosα=$\frac{2}{3}$，從而可得sinαcosα的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡所求即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意，∵|AC|=|BC|，
∴|AC|²=|BC|²，即（sinα-3）²+cos²α=sin²α+（cosα-3）²…（2分）
化簡得sinα=cosα，
∴tanα=1，…（4分）
∵tanα=1，
∴$\begin{array}{l}\frac{4sinα-2cosα}{5cosα+3sinα}=\frac{4tanα-2}{5+3tanα}…（5分）\\=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}…（6分）\end{array}$
（Ⅱ）由|CD|²=$\frac{5}{3}$，得：（sinα-1）²+（cosα-1）²=$\frac{5}{3}$，
化簡得：sinα+cosα=$\frac{2}{3}$，…（8分）
于是：sinαcosα=$\frac{1}{2}$[（sinα+cosα）²-1]=-$\frac{5}{18}$．…（10分）
$\begin{array}{l}∴\frac{{{{sin}^2}α+sinαcosα}}{1+tanα}=\frac{sinα（sinα+cosα）}{{\frac{cosα+sinα}{cosα}}}\\=sinαcosα…（11分）\\=-\frac{5}{18}…（12分）\end{array}$

點評 本題主要考查向量的基本運算以及向量和三角函數(shù)的綜合運算，屬于中檔題．