Question

11．已知函數(shù)f（x）=（x²+ax）e^x的兩個(gè)極值為x₁，x₁，且x₁+x₁=-2-$\sqrt{5}$．
（1）求x₁，x₁的值；
（2）若f（x）在（c-1，c）（其中c＜-1）上是單調(diào)函數(shù)，求c的取值范圍；
（3）當(dāng)m≤-e，求證：[f（x）+2e^x]•[（x-2）e^x-m+1]＞$\frac{3}{4}$e^x．

Answer 1

分析 （1）求得導(dǎo)數(shù)，由極值點(diǎn)的定義可得x₁，x₂為x²+（a+2）x+a=0的兩根，運(yùn)用韋達(dá)定理和求根公式，即可得到所求值；
（2）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求出c的取值范圍；
（3）設(shè)g（x）=（x-2）e^x-m+1，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的最值求法，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（x²+ax）e^x的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=（x²+（a+2）x+a）e^x，
由題意可得x₁，x₂為x²+（a+2）x+a=0的兩根，
x₁+x₂=-a-2=-2-$\sqrt{5}$，解得a=$\sqrt{5}$，
即有x₁x₂=$\sqrt{5}$，
解得x₁=$\frac{-5-\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$；
（2）由（1）知，f（x）在（x₁，x₂）上遞減，在（-∞，x₁）上遞增，
其中，x₁=$\frac{-5-\sqrt{5}}{2}$＜-1，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＞-1，
當(dāng)f（x）在（c-1，c）上遞減時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{c-1≥{x}_{1}}\\{c≤{x}_{2}}\end{array}\right.$，又c＜-1，
∴$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$≤c＜-1，
當(dāng)f（x）在（c-1，c）上遞增時(shí)，c≤x₁，
綜上，c的取值范圍為（-∞，$\frac{-5-\sqrt{5}}{2}$]∪[$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$，-1）；
（3）證明：設(shè)g（x）=（x-2）e^x-m+1，
則g′（x）=（x-1）e^x，
令g′（x）＞0，得x＞1，
令g′（x）＜0，得x＜1，
∴g（x）_min=g（1）=-e-m+1≥1，
∴g（x）≥1，
∵f（x）+2e^x=（x²+$\sqrt{5}$x+2）e^x=[（x+$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²+$\frac{3}{4}$]e^x≥$\frac{3}{4}$e^x，（當(dāng)x=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$時(shí)取等號(hào)），
∴不等式成立（因?yàn)槿〉葪l件不相同，所以等號(hào)取不到）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查韋達(dá)定理及求根公式，以及不等式的證明，注意轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值的比較，屬于中檔題．