Question

6．已知，命題p：?x∈R，x²+ax+2≥0，命題q：?x∈[-3，-$\frac{1}{2}$]，x²-ax+1=0．
（1）若命題p為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若命題q為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意解△=a²-4×1×2≤0可得；
（2）問題轉(zhuǎn)化為a=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$的值域，由“對勾函數(shù)”的單調(diào)性可得．

解答 解：（1）∵命題p：?x∈R，x²+ax+2≥0為真命題，
∴△=a²-4×1×2≤0，解得-2$\sqrt{2}$≤a≤2$\sqrt{2}$，
∴實數(shù)a的取值范圍為[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]；
（2）命題q：?x∈[-3，-$\frac{1}{2}$]，x²-ax+1=0為真命題，
∴a=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$在x∈[-3，-1]單調(diào)遞增，在x∈[-1，-$\frac{1}{2}$]單調(diào)遞減，
∴當x=-1時，a取最大值-2，當x=-3時a=-$\frac{10}{3}$，當x=-$\frac{1}{2}$時a=-$\frac{5}{2}$，
∴實數(shù)a的取值范圍為：[-$\frac{10}{3}$，-2]

點評 本題考查帶量詞的命題，涉及一元二次方程根的存在性和“對勾函數(shù)”的單調(diào)性，屬基礎題．