Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|，a＜0．
（Ⅰ）證明f（x）+f（-

1

x

）≥2；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜

1

2

的解集非空，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,其他不等式的解法

專題：計(jì)算題,分類討論,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)和基本不等式，即可得證；
（Ⅱ）通過對(duì)x的范圍的分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為一次不等式，求得（f（x）+f（2x））_min即可．

解答： （Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）=|x-a|，a＜0，
則f（x）+f（-

1

x

）=|x-a|+|-

1

x

-a|
=|x-a|+|

1

x

+a|≥|（x-a）+（

1

x

+a）|
=|x+

1

x

|=|x|+

1

|x|

≥2

|x|• 1 |x|

=2．

（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=|x-a|+|2x-a|，a＜0．
當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）=a-x+a-2x=2a-3x，則f（x）≥-a；
當(dāng)a＜x＜

a

2

時(shí)，f（x）=x-a+a-2x=-x，則-

a

2

＜f（x）＜-a；
當(dāng)x≥

a

2

時(shí)，f（x）=x-a+2x-a=3x-2a，則f（x）≥-

a

2

．
則f（x）的值域?yàn)閇-

a

2

，+∞），
不等式f（x）+f（2x）＜

1

2

的解集非空，即為

1

2

＞-

a

2

，解得，a＞-1，由于a＜0，
則a的取值范圍是（-1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，通過對(duì)x的范圍的分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)是關(guān)鍵，考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題，考查分類討論思想，屬于中檔題．