Question

2．設(shè)a＞0，b＞0，$\sqrt{2}$是a與b的等比中項(xiàng)，log_ax=log_by=3，則$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，可得ab=2，由對(duì)數(shù)的定義可得xy，再由基本不等式可得最小值．

解答 解：設(shè)a＞0，b＞0，$\sqrt{2}$是a與b的等比中項(xiàng)，
可得ab=2，
由log_ax=log_by=3可得x=a³，y=b³，
xy=（ab）³=8，
且x＞0，y＞0，
由$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$≥2$\sqrt{\frac{1}{xy}}$=2$\sqrt{\frac{1}{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2$\sqrt{2}$時(shí)，取得等號(hào)．
即有$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．