Question

13．已知正四棱錐S-ABCD的底面邊長和側棱長都等于a．求：
（1）側棱與底面所成的角；
（2）側面與底面所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）過S作SO⊥面ABCD，垂足為O，則∠SAO是側棱與底面所成的角，根據(jù)三角形的邊角關系進行求解．
（2）過O作OE⊥BC，交BC于E，連結SE，則∠SEO是側面SBC與底面ABCD所成二面角的平面角，利用三角形的邊角關系進行求解即可．

解答 解：如圖所示，連接AC，BD，相交于點O，連接OS．
∵四棱錐S-ABCD是正四棱錐，
∴OS⊥底面ABCD．
∴∠SAO是側棱與底面所成的角．
∵正四棱錐S-ABCD的底面邊長為a，
∴AO=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
在Rt△OAS中，cos∠SAO=$\frac{OA}{SA}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴∠SAO=$\frac{π}{4}$．
即側棱與底面所成的角是$\frac{π}{4}$．
（2）過O作OE⊥BC，交BC于E，連結SE，
則由三垂線定理知：∠SEO是側面SBC與底面ABCD所成二面角的平面角，
由題意知SE=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，OE=$\frac{a}{2}$，
∴cos∠SEO=$\frac{OE}{SE}$=$\frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了正四棱錐的性質、線面角、二面角的計算，根據(jù)線面角和二面角的平面角的定義分別作出對應的角是解決本題的關鍵．考查了推理能力與計算能力．