Question

【題目】對于各項均為整數(shù)的數(shù)列，如果滿足（）為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”；不論數(shù)列是否具有“性質(zhì)”，如果存在與不是同一數(shù)列的，且同時滿足下面兩個條件：①是的一個排列；②數(shù)列具有“性質(zhì)”，則稱數(shù)列具有“變換性質(zhì)”.

（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的前項和，證明數(shù)列具有“性質(zhì)”；

（Ⅱ）試判斷數(shù)列和數(shù)列是否具有“變換性質(zhì)”，具有此性質(zhì)的數(shù)列請寫出相應(yīng)的數(shù)列，不具此性質(zhì)的說明理由；

（Ⅲ）對于有限項數(shù)列，某人已經(jīng)驗證當（）時，數(shù)列具有“變換性質(zhì)”，試證明：當時，數(shù)列也具有“變換性質(zhì)”.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意知，所以是完全平方數(shù)，數(shù)列具有“性質(zhì)”；（Ⅱ）由題設(shè)條件知：數(shù)列具有“變換性質(zhì)”，數(shù)列為，數(shù)列不具有“變換性質(zhì)”，所以數(shù)列不具有“變換性質(zhì)”；（Ⅲ）設(shè)，令，則，由此可知當時，數(shù)列也具有“變換性質(zhì)”.

試題解析：（Ⅰ）當時， ，

又，所以 .

所以（）是完全平方數(shù)，數(shù)列具有“M性質(zhì)”.

（Ⅱ）數(shù)列具有“變換M性質(zhì)”，

數(shù)列為.

數(shù)列不具有“變換M性質(zhì)”.

∵， 都只有與的和才能構(gòu)成完全平方數(shù)，

∴數(shù)列不具有“變換M性質(zhì)”.

（Ⅲ）設(shè)， ，

注意到，

令，

∵，

∴，

又∵， ，

∴，即.

∵當（）時，數(shù)列具有“變換M性質(zhì)”，

∴可以排列成，使得都是平方數(shù)；

另外， ， ，…， 可以按相反順序排列，即排列為，…， ， ，

使得 ，

，…，

∴可以排成

滿足都是平方數(shù).