Question

11．函數(shù)f（x）=lnx-ax+1（a為實常數(shù)）在x=1處的切線與直線y=2016平行．
（1）求a的值；   
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）證明當(dāng)x∈（1，+∞）時，1＜$\frac{x-1}{lnx}$＜x．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f′（1）=0，解出即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3））由題意可得即證lnx＜x-1＜xlnx．運用（1）的單調(diào)性可得lnx＜x-1，設(shè)F（x）=xlnx-x+1，x＞1，求出單調(diào)性，即可得到x-1＜xlnx成立．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-ax+1，x＞0，
∴${f^'}（x）=\frac{1}{x}-a$，
若函數(shù)f（x）在x=1處的切線與直線y=2016平行，
即切線的斜率是0，
則f′（1）=1-a=0，則a=1；
（2）由（1）知f（x）=lnx-x+1，f（x）的定義域為（0，+∞），
${f^'}（x）=\frac{1}{x}-1$，令f′（x）=0，解得x=1．
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），遞減區(qū)間為（1，+∞）；
（3）證明：當(dāng)x∈（1，+∞）時，1＜$\frac{x-1}{lnx}$＜x，即為lnx＜x-1＜xlnx．
由（2）可得f（x）=lnx-x+1在（1，+∞）遞減，
可得f（x）＜f（1）=0，即有l(wèi)nx＜x-1；
設(shè)F（x）=xlnx-x+1，x＞1，F(xiàn)′（x）=1+lnx-1=lnx，
當(dāng)x＞1時，F(xiàn)′（x）＞0，可得F（x）遞增，即有F（x）＞F（1）=0，
即有xlnx＞x-1，則原不等式成立．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式的證明，注意運用構(gòu)造函數(shù)法，求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查推理和運算能力，屬于中檔題．