Question

18．如圖，在三棱臺DEF-ABC中，已知底面ABC是以AB為斜邊的直角三角形，F(xiàn)C⊥底面ABC，AB=2DE，G，H分別為AC，BC的中點．
（1）求證：平面ABED∥平面GHF；
（2）若BC=CF=$\frac{1}{2}$AB，求二面角A-DE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面平行的判定定理即可證明平面ABED∥平面GHF；
（2）建立空間坐標系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可．

解答 證明：（1）∵在三棱臺DEF-ABC中，AB=2DE，
∴BC=2EF，AC=2DF，
∵G，H分別為AC，BC的中點，
∴GH∥AB，EF∥BH，EF=BH，
則四邊形BHFE是平行四邊形，
則BE∥FH，
∵GH∩FH=H，
∴平面ABED∥平面GHF；
（2）若BC=CF=$\frac{1}{2}$AB，
設BC=CF=$\frac{1}{2}$AB=1，則AB=2，
DE=1，
∵底面ABC是以AB為斜邊的直角三角形，
∴AC=$\sqrt{3}$，DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
建立以C為坐標原點，CA，CB，CF分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：
則D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，1），A（$\sqrt{3}$，0，0），F(xiàn)（0，0，1），E（0，$\frac{1}{2}$，1），
$\overrightarrow{DE}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{AD}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，1），
設平面ADE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+z=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{z=\frac{\sqrt{3}}{2}x}\end{array}\right.$，
令x=2$\sqrt{3}$，則y=6，z=3，即$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{3}$，6，3），
平面DEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{1×\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{6}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{57}}$=$\frac{\sqrt{57}}{19}$，
即二面角A-DE-F的余弦值是$\frac{\sqrt{57}}{19}$．

點評 本題主要考查線面平行的判定以及二面角的求解，建立空間直角坐標系，利用向量法進行求解，綜合性較強，運算量較大．