Question

6．已知點(diǎn)A（-2，2）在直線l：mx-y-2m-4=0上的射影為H，點(diǎn)B（3，3），則|$\overline{BH}$|的取值范圍是$[5-\sqrt{13}，5+\sqrt{13}]$．

Answer 1

分析 直線l：mx-y-2m-4=0化為m（x-2）-（y+4）=0，可得直線l經(jīng)過定點(diǎn)P（2，-4），線段AP的中點(diǎn)為M（0，-1）．根據(jù)AH⊥PH，可得點(diǎn)H在以AP為直徑的圓上，求出|BM|即可得出．

解答 解：直線l：mx-y-2m-4=0化為m（x-2）-（y+4）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x-2=0}\\{-（y+4）=0}\end{array}\right.$，解得x=2，y=-4．
∴直線l經(jīng)過定點(diǎn)P（2，-4），
線段AP的中點(diǎn)為M（0，-1）．
∵AH⊥PH，
∴點(diǎn)H在以AP為直徑的圓上，半徑R=$\frac{1}{2}$|AP|=$\frac{1}{2}\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
∵|BM|=$\sqrt{{3}^{2}+（-1-3）^{2}}$=5，
∴|$\overline{BH}$|的取值范圍是$[5-\sqrt{13}，5+\sqrt{13}]$．
故答案為：$[5-\sqrt{13}，5+\sqrt{13}]$．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓的方程、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．