Question

11．直線y=x-2，直線被橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1截得的弦長是$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)直線與橢圓相交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：5x²-16x+12=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其弦長公式|AB|=$\sqrt{（1+1）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，即可得出．

解答 解：設(shè)直線與橢圓相交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為：5x²-16x+12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{16}{5}$，x₁•x₂=$\frac{12}{5}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+1）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2×[（\frac{16}{5}）^{2}-4×\frac{12}{5}]}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．