Question

5．設(shè)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，φ＞0）滿足：在一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)x=-$\frac{2}{5}$π時(shí)，函數(shù)有最大值2，當(dāng)x=$\frac{8}{5}$π時(shí)，函數(shù)有最小值-2．
（1）求實(shí)數(shù)A，ω，φ的值；
（2）求該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（3）用五點(diǎn)作圖法作出這個(gè)函數(shù)的大致圖象．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的最大值求得A=2，根據(jù)相鄰的最大值最小值之間的距離，求得T，利用周期公式可求ω，將（$\frac{8}{5}$π，-2），代入y=2sin（2x+φ），求得φ．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{7π}{10}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（3）求出對(duì)應(yīng)的五點(diǎn)，利用“五點(diǎn)作圖法”畫出函數(shù)y=f（x）在一個(gè)周期上的圖象．

解答 解：（1）由函數(shù)的最小值為-2，
∴A=2，$\frac{T}{2}$=$\frac{8}{5}$π-（-$\frac{2}{5}$π）=2π，T=4π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{1}{2}$，可得：y=2sin（$\frac{1}{2}$x+φ），
∵函數(shù)圖形過(guò)點(diǎn)（ $\frac{8}{5}$π，-2），代入y=2sin（$\frac{1}{2}$x+φ），可得：$\frac{4π}{5}$+φ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
∴φ=2kπ+$\frac{7π}{10}$，k∈Z，
∵φ＞0
∴當(dāng)k=0時(shí)，可得φ=$\frac{7π}{10}$．
（2）由（1）可得：y=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{7π}{10}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{7π}{10}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：4kπ-$\frac{12π}{5}$≤x≤4kπ-$\frac{2π}{5}$，k∈Z，
可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：[4kπ-$\frac{12π}{5}$，4kπ-$\frac{2π}{5}$]，k∈Z，
（3）列表如下：

x	-$\frac{7π}{5}$	-$\frac{2π}{5}$	$\frac{3π}{5}$	$\frac{8π}{5}$	$\frac{13π}{5}$
$\frac{1}{2}$x+$\frac{7π}{10}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
y=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{7π}{10}$）	0	2	0	-2	0

描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)并光滑連線，得到一個(gè)周期的簡(jiǎn)圖；圖象如下：

點(diǎn)評(píng) 本題考查求正弦函數(shù)解析式的方法，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，也考查了五點(diǎn)作圖法畫函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．