已知函數(shù)(n∈N*).
(Ⅰ)比較fn(0)與的大小;
(Ⅱ)求證:
【答案】分析:(1)先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),構(gòu)造函數(shù)φ(x)=ln(1+x)-x,研究函數(shù)φ(x)的單調(diào)性可判定fn(0)與的大小
(2)利用第一問的結(jié)論對進(jìn)行放縮,結(jié)合不等式的性質(zhì)和裂項求和法的運用,聯(lián)合求解即可證明原不等式.
解答:解:(Ⅰ)
,設(shè)函數(shù)φ(x)=ln(1+x)-x,x∈(0,1]
,則φ(x)單調(diào)遞減,
所以ln(1+x)-x<φ(0)=0,所以ln(1+x)<x
,即;
(Ⅱ)
因為

則原結(jié)論成立.
點評:本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,以及不等式的證明,在高考中也?,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(08年山東卷理)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)其中n∈N*,a為常數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)n=2時,求函數(shù)f(x)的極值;

(Ⅱ)當(dāng)a=1時,證明:對任意的正整數(shù)n,當(dāng)x≥2時,有f(x)≤x-1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(08年山東卷理)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)其中n∈N*,a為常數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)n=2時,求函數(shù)f(x)的極值;

(Ⅱ)當(dāng)a=1時,證明:對任意的正整數(shù)n,當(dāng)x≥2時,有f(x)≤x-1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(山東卷理21)已知函數(shù)其中n∈N*,a為常數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)n=2時,求函數(shù)f(x)的極值;

(Ⅱ)當(dāng)a=1時,證明:對任意的正整數(shù)n,當(dāng)x≥2時,有f(x)≤x-1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(山東卷理21)已知函數(shù)其中n∈N*,a為常數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)n=2時,求函數(shù)f(x)的極值;

(Ⅱ)當(dāng)a=1時,證明:對任意的正整數(shù)n,當(dāng)x≥2時,有f(x)≤x-1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(15分)已知函數(shù)其中n∈N*,a為常數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)n =2時,求函數(shù)f(x)的極值;

(Ⅱ)當(dāng)a =1時,證明:對任意的正整數(shù)n , 當(dāng)x≥2時,有f(x)≤x-1.

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