Question

1．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）＞1-f′（x），f（0）=4，則不等式$\frac{{{e^x}f（x）}}{{{e^x}+3}}$＞1（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（　　）

• A． （3，+∞）
• B． （-∞，0）∪（3，+∞）
• C． （0，+∞）
• D． （-∞，0）∪（0，+∞）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），研究g（x）的單調(diào)性，不等式$\frac{{{e^x}f（x）}}{{{e^x}+3}}$＞1轉(zhuǎn)化為e^xf（x）＞e^x+3，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解．

解答 解：設(shè)g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），
則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴f（x）+f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增，
不等式$\frac{{{e^x}f（x）}}{{{e^x}+3}}$＞1轉(zhuǎn)化為e^xf（x）＞e^x+3，
∴g（x）＞3，
又∵g（0）═e⁰f（0）-e⁰=4-1=3，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0
故選：C

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．