Question

13．已知遞增的等差數(shù)列{a_n}中，a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，b₁=$\frac{2}{3}，b_2+b_3=\frac{8}{27}$．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=a_n•b_n，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n．求證：T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）解方程x²-12x+27=0，可得a₂=3，a₅=9．利用等差數(shù)列與等比數(shù)列通項公式即可得出．
（2）${c_n}={a_n}•{b_n}=\frac{4n-2}{3^n}$，利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）解x²-12x+27=0得x₁=3，x₂=9，因為{a_n}是遞增，所以a₂=3，a₅=9…（1分）
解$\left\{\begin{array}{l}{a_5}={a_1}+4d=9\\{a_2}={a_1}+d=3\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=2\end{array}\right.$，所以a_n=2n-1    …（2分）
又由${b_1}=\frac{2}{3}$，$b_2+b_3=\frac{8}{27}$，得q=$\frac{1}{3}$，…（4分）
所以$b_n=\frac{2}{3}（{\frac{1}{3}）}^{n-1}=\frac{2}{3^n}$．  …（6分）
（2）${c_n}={a_n}•{b_n}=\frac{4n-2}{3^n}$…（7分）
${T_n}=\frac{4×1-2}{3^1}+\frac{4×2-2}{3^2}+\frac{4×3-2}{3^3}+…+\frac{4×（n-1）-2}{{{3^{n-1}}}}+\frac{4n-2}{3^n}$…（8分）
$3{T_n}=\frac{4×1-2}{3^0}+\frac{4×2-2}{3^1}+\frac{4×3-2}{3^2}+…+\frac{4×（n-1）-2}{{{3^{n-2}}}}+\frac{4n-2}{{{3^{n-1}}}}$…（9分）
兩式相減得：$2{T_n}=2+\frac{4}{3^1}+\frac{4}{3^2}+…+\frac{4}{{{3^{n-1}}}}-\frac{4n-2}{3^n}$=$4-\frac{4n+4}{3^n}$，…（10分）
所以${T_n}=2-\frac{2n+2}{3^n}$＜2…（12分）

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式與求和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．