記函數(shù)fx)的定義域為D,若存在,使成立,則稱為坐標的點為函數(shù)fx)圖象上的不動點.

1)若函數(shù)圖象上有兩個關(guān)于原點對稱的不動點,求ab應(yīng)滿足的條件;

2)在(1)的條件下,若a=8,記函數(shù)fx 圖象上有兩個不動點分別為A1A2,P為函數(shù)fx)圖象上的另一點,其縱坐標>3,求點P到直線A1A2距離的最小值及取得最小值時的坐標;

3)下述命題:若定義在R上的奇函數(shù)fx)圖象上存在有限個不動點,則不動點有奇數(shù)個是否正確?若正確,給予證明;若不正確,請舉一反例.

解:(1)若函數(shù)fx)不動點,則有

整理得          ①            

根據(jù)題意可判斷方程有兩個根,且這兩個根互為相反數(shù),得

>4a  且,<0

所以b=3 ,a>0                                    

,所以

b=3,a>0,且a≠9.                                 

(2)在(1)的條件下,當a=8時,

,解得兩個不動點為,

設(shè)點Px ,y),y>3 , >3解得x<-3

設(shè)點Px,y)到直線A1A2的距離為d,則

.                        

當且僅當,即x=―4時,取等號,此時P(―4,4).

(3)命題正確.                              

因為f(x)定義在R上的奇函數(shù),所以f(―0)=―f(0) ,所以0是奇函數(shù)fx)的一個不動點.

設(shè)c≠0是奇函數(shù)fx)的一個不動點,fc)=c ,,所以―c也是f (x)的一個不動點.

所以奇函數(shù)fx)的非零不動點如果存在,則必成對出現(xiàn),故奇函數(shù)fx)的不動點數(shù)目是奇數(shù)個.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

記函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,則稱以(x0,y0)為坐標的點是函數(shù)f(x)的圖象上的“穩(wěn)定點”.
(1)若函數(shù)f(x)=
3x-1x+a
的圖象上有且只有兩個相異的“穩(wěn)定點”,試求實數(shù)a的取值范圍;
(2)已知定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)f(x)存在有限個“穩(wěn)定點”,求證:f(x)必有奇數(shù)個“穩(wěn)定點”.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

記函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,則稱以(x0,x0)為坐標的點為函數(shù)f(x)圖象上的不動點.
(1)若函數(shù)f(x)=
3x+a
x+b
圖象上有兩個關(guān)于原點對稱的不動點,求實數(shù)a,b應(yīng)滿足的條件;
(2)設(shè)點P(x,y)到直線y=x的距離d=
|x-y|
2
.在(1)的條件下,若a=8,記函數(shù)f(x)圖象上的兩個不動點分別為A1,A2,P為函數(shù)f(x)圖象上的另一點,其縱坐標yP>3,求點P到直線A1A2距離的最小值及取得最小值時點P的坐標.
(3)下述命題“若定義在R上的奇函數(shù)f(x)圖象上存在有限個不動點,則不動點有奇數(shù)個”是否正確?若正確,請給予證明;若不正確,請舉一反例.若地方不夠,可答在試卷的反面.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

記函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,則稱以(x0,x0)為坐標的點為函數(shù)f(x)圖象上的不動點.
(1)若函數(shù)f(x)=
3x+a
x+b
圖象上有兩個關(guān)于原點對稱的不動點,求實數(shù)a,b應(yīng)滿足的條件;
(2)設(shè)點P(x,y)到直線y=x的距離d=
|x-y|
2
.在(1)的條件下,若a=8,記函數(shù)f(x)圖象上的兩個不動點分別為A1,A2,P為函數(shù)f(x)圖象上的另一點,其縱坐標yP>3,求點P到直線A1A2距離的最小值及取得最小值時點P的坐標.
(3)下述命題“若定義在R上的奇函數(shù)f(x)圖象上存在有限個不動點,則不動點有奇數(shù)個”是否正確?若正確,請給予證明;若不正確,請舉一反例.若地方不夠,可答在試卷的反面.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

記函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在x0∈D,使得f(x)=x成立,則稱(x0,x0)為函數(shù)f(x)圖象上的“穩(wěn)定點”.

(1)是否存在實數(shù)a,使函數(shù)f(x)=的圖象上有且僅有兩個相異的穩(wěn)定點?若存在,求出范圍;若不存在,請說明理由.

(2)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),求證:函數(shù)必有奇數(shù)個穩(wěn)定點.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省茂名市高州中學(xué)高一(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

記函數(shù)f(x)的定義域為D,若存在x∈D,使f(x)=x成立,則稱以(x,y)為坐標的點是函數(shù)f(x)的圖象上的“穩(wěn)定點”.
(1)若函數(shù)的圖象上有且只有兩個相異的“穩(wěn)定點”,試求實數(shù)a的取值范圍;
(2)已知定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)f(x)存在有限個“穩(wěn)定點”,求證:f(x)必有奇數(shù)個“穩(wěn)定點”.

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