Question

20．已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=a${x}^{3}-\frac{1}{2}x-\frac{2}{3e}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）的圖象在交點處存在公共切線，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，也為最值；
（Ⅱ）分別求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)公切點處的橫坐標(biāo)為x₀，分別求出切線方程，再聯(lián)立解方程，即可得到a．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=xlnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+lnx，
由f′（x）＞0，可得x＞$\frac{1}{e}$；由f′（x）＜0，可得0＜x＜$\frac{1}{e}$，
即有f（x）的增區(qū)間為（$\frac{1}{e}$，+∞），
f（x）在x=$\frac{1}{e}$處取得極小值，且為最小值-$\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）因為f'（x）=lnx+1，g′（x）=3ax²-$\frac{1}{2}$，
設(shè)公切點處的橫坐標(biāo)為x₀，
則與f（x）相切的直線方程為：y=（lnx₀+1）x-x₀，
與g（x）相切的直線方程為：y=（3ax₀²-$\frac{1}{2}$）x-2ax₀³-$\frac{2}{3e}$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{1+ln{x}_{0}=3a{{x}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}}\\{-{x}_{0}=-2a{{x}_{0}}^{3}-\frac{2}{3e}}\end{array}\right.$，
解之得x₀lnx₀=-$\frac{1}{e}$，
由（1）知x₀=$\frac{1}{e}$，
所以a=$\frac{{e}^{2}}{6}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程、求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查運算能力，屬于中檔題．