Question

已知（a²+1）ⁿ展開式中各項系數(shù)之和等于（

16

5

x²+

1

x

）⁵的展開式的常數(shù)項，而（a²+1）ⁿ的展開式的二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)等于54，求a的值．

Answer 1

分析：由二項式定理通項公式知T_r+1=C₅^r（

16

5

x²）^5-r（

1

x

）^r=（

16

5

）^5-r•C₅^r•x

20-5r

2

．由20-5r=0，知r=4，由題意得2ⁿ=16，n=4．再由二項式系數(shù)的性質知，（a²+1）ⁿ展開式中二項式系數(shù)最大的項是中間項T₃，由此可求出a的值．

解答：解：由（

16

5

x²+

1

x

）⁵得，
T_r+1=C₅^r（

16

5

x²）^5-r（

1

x

）^r=（

16

5

）^5-r•C₅^r•x

20-5r

2

．
令T_r+1為常數(shù)項，則20-5r=0，
∴r=4，∴常數(shù)項T₅=C₅⁴×

16

5

=16．
又（a²+1）ⁿ展開式的各項系數(shù)之和等于2ⁿ．
由題意得2ⁿ=16，∴n=4．
由二項式系數(shù)的性質知，（a²+1）ⁿ展開式中二項式系數(shù)最大的項是中間項T₃，
∴C₄²a⁴=54，
∴a=±

3

．

點評：本題考查二項式定理的應用和二項式系數(shù)的性質，解題時要注意根據實際情況靈活地運用公式．