Question

已知（a²+1）ⁿ展開式中各項系數之和等于（x²+）⁵的展開式的常數項，而（a²+1）ⁿ的展開式的二項式系數最大的項的系數等于54，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：由二項式定理通項公式知T_r+1=C₅^r（x²）^5-r（）^r=（）^5-r•C₅^r•x．由20-5r=0，知r=4，由題意得2ⁿ=16，n=4．再由二項式系數的性質知，（a²+1）ⁿ展開式中二項式系數最大的項是中間項T₃，由此可求出a的值．
解答：解：由（x²+）⁵得，
T_r+1=C₅^r（x²）^5-r（）^r=（）^5-r•C₅^r•x．
令T_r+1為常數項，則20-5r=0，
∴r=4，∴常數項T₅=C₅⁴×=16．
又（a²+1）ⁿ展開式的各項系數之和等于2ⁿ．
由題意得2ⁿ=16，∴n=4．
由二項式系數的性質知，（a²+1）ⁿ展開式中二項式系數最大的項是中間項T₃，
∴C₄²a⁴=54，
∴a=±．
點評：本題考查二項式定理的應用和二項式系數的性質，解題時要注意根據實際情況靈活地運用公式．