Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$是定義在（-1，1）上的函數(shù)．
（1）利用奇偶性的定義，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）證明函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．（提示：-1＜x₁x₂＜1）

Answer 1

分析 （1）由已知中函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，可得答案．
（2）證法一：設任意-1＜x₁＜x₂＜1，求出f（x₁）-f（x₂），并判斷符號，進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義得到f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)；
證法二：求導，并分析出當x∈（-1，1）時，f′（x）＞0恒成立，進而得到f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)

解答 （1）解：由題設知，函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，$f（-x）=\frac{-x}{{1+{{（-x）}^2}}}=-\frac{x}{{1+{x^2}}}=-f（x）$
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）證法一：設x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{x_1}{{1+{x_1}^2}}-\frac{x_1}{{1+{x_1}^2}}$=$\frac{{{x_1}（1+{x_2}^2）-{x_2}（1+{x_1}^2）}}{{（1+{x_1}^2）（1+{x_2}^2）}}$=$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（1-{x_1}{x_2}）}}{{（1+{x_1}^2）（1+{x_2}^2）}}$
因為 x₁＜x₂，-1＜x₁x₂＜1
所以x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0
所以 f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
所以函數(shù)f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
證法二：∵函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$，
∴f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，
當x∈（-1，1）時，
f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．