Question

14．（Ⅰ）求不等式|2x-4|+|x+1|≥5解集；
（Ⅱ）已知a，b為正數(shù)，若直線（a-1）x+2y+6=0與直線2x+by-5=0互相垂直，求證：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$≥8．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根據(jù)直線的垂直關(guān)系，求出關(guān)于a，b的等式，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)證明即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)f（x）=|2x-4|+|x+1|，
∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x-3，x≥2}\\{-x+5，-1≤x＜2}\\{-3x+3，x＜-1}\end{array}\right.$，
x≥2時，3x-3≥5，解得：x≥$\frac{8}{3}$，
-1≤x＜2時，-x+5≥5，解得：x≤0，
x＜-1時，-3x+3≥5，解得：x≤-$\frac{2}{3}$，
綜上，不等式的解集是（-∞，0]∪[$\frac{8}{3}$，+∞）．
（Ⅱ）證明：∵直線（a-1）x+2y+6=0與直線2x+by-5=0互相垂直，
∴2（a-1）+2b=0，得：a+b=1，
∵ab≤${（\frac{a+b}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$，當且僅當a=b時取“=”，
∴$\frac{1}{ab}$≥4，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$≥$\frac{2}{ab}$≥8，當且僅當a=b=$\frac{1}{2}$時取“=”，
即：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$≥8．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．