Question

設(shè)拋物線y²=4x的焦點為F，過點（

1

2

，0）的動直線交拋物線于不同兩點P，Q，線段PQ中點為M，射線MF與拋物線交于點A．
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PQ的斜率為k，用k表示△APQ的面積．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ） 設(shè)直線PQ方程為x=ty+

1

2

，代入y²=4x，消去x，運用韋達定理和中點坐標公式，再運用代入法消去t，即可得到M的軌跡方程；
（Ⅱ） 設(shè)

FA

=λ

FM

  (λ＜0)，A（x₀，y₀），代入M的坐標，再由拋物線方程，又λ＜0，所以t²=-

1

2λ

，由點到直線的距離公式，以及弦長公式，求出三角形APQ的面積．

解答： 解：（Ⅰ） 設(shè)直線PQ方程為x=ty+

1

2

，代入y²=4x得，
y²-4ty-2=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則
y₁+y₂=4t，y₁y₂=-2，x₁+x₂=t（y₁+y₂）+1=4t²+1，
所以M（2t²+

1

2

，2t）．
設(shè)M（x，y），由

x=2t2+ 1 2 y=2t

，消去t，得中點M的軌跡方程為：y²=2x-1．          
（Ⅱ） 設(shè)

FA

=λ

FM

  (λ＜0)，A（x₀，y₀），又F（1，0），M（2t²+

1

2

，2t），
于是

x0=2λt2- 1 2 λ+1 y0=2λt.

，
由點A在拋物線y²=4x上，得(λ2-2λ)t2=-

1

2

λ+1，
又λ＜0，所以t²=-

1

2λ

，點A到直線PQ的距離d=

|λ-1|

2 1+t2

．
又|PQ|=

1+t2

|y₁-y₂|=2

(1+t2)(4t2+2)

．
所以，△APQ面積S=

1

2

•|PQ|•d=

2

2

2t2+1

|λ-1|=

2

2

(λ-1)3 λ

，
由于k=

1

t

，則λ=-

1

2

k²，則S=

2

2

2(1+ 1 2 k2)3

|k|

．

點評：本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力．