Question

15．直線ax+by+c=0與圓x²+y²=16相交于兩點M、N．若c²=a²+b²，則$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$（O為坐標原點）等于-14．

Answer 1

分析 取MN的中點A，連接OA，則OA⊥MN．由點到直線的距離公式算出OA=1，從而在Rt△AON中，得到cos∠AON，利用倍角公式求出cos∠MON的值，最后根據(jù)向量數(shù)量積的公式即可算出$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的值．

解答 解：取MN的中點A，連接OA，則OA⊥MN，
∵c²=a²+b²，
∴O點到直線MN的距離OA=$\frac{|c|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=1
x²+y²=16的半徑r=4，
∴Rt△AON中，設(shè)∠AON=θ，得cosθ=$\frac{OA}{ON}$=$\frac{1}{4}$，
cos∠MON=cos2θ=2cos²θ-1=2×$\frac{1}{16}$-1=-$\frac{7}{8}$，
由此可得，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{ON}$|cos∠MON
=4×4×（-$\frac{7}{8}$）=-14
故答案是：-14．

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的計算，根據(jù)直線和圓的關(guān)系求出向量夾角是解決本題的關(guān)鍵，著重考查了直線與圓的位置關(guān)系和向量數(shù)量積的運算公式等知識點，屬于中檔題．