Question

如圖，矩形，滿足在上，在上，且∥∥，，，，沿、將矩形折起成為一個直三棱柱，使與、與重合后分別記為，在直三棱柱中，點(diǎn)分別為和的中點(diǎn)．

(I)證明：∥平面；
(Ⅱ)若二面角為直二面角，求的值．

Answer 1

詳見解析；.

試題分析：連結(jié)DB₁ 、DC₁，由是的中位線來證明線面平行.由條件可知∠BDC = 90°.再建系求出各點(diǎn)坐標(biāo)，求面的法向量，面的法向量，由二面角為直二面角得，從而解得.
試題解析：（Ⅰ）證：連結(jié)DB₁ 、DC₁ ∵四邊形DBB₁D₁為矩形，M為D₁B的中點(diǎn)   2分
∴M是DB₁與D₁B的交點(diǎn)，且M為DB₁的中點(diǎn)
∴MN∥DC₁，∴MN∥平面DD₁C₁C                              4分
（Ⅱ）解：四邊形為矩形，B.C在A₁A₂上，B₁.C₁在上，
且BB₁∥CC₁∥，A₁B = CA₂ = 2，，
∴∠BDC = 90°                                            6分

以DB、DC、DD₁所在直線分別為x.y.z軸建立直角坐標(biāo)系，則
D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D₁(0，0，)，B₁(2，0，)，C₁(0，2，)
點(diǎn)M、N分別為D₁B和B₁C₁的中點(diǎn)，∴
設(shè)平面D₁MN的法向量為m = (x，y，z)，則
，
令x = 1得：
即                                             8分
設(shè)平面MNC的法向量為n = (x，y，z)，則
，令z = 1得：
即                                         10分
∵二面角D₁－MN－C為直二面角   ∴m⊥n，故，解得：
∴二面角D₁－MN－C為直二面角時，．         12分