Question

1．已知p：方程x²+mx+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根；q：不等式x+$\frac{m}{x}$-2＞0在x∈[2，+∞）上恒成立，若￢p為真命題，p∧q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 若P成立，則△＞0．若q成立，不等式x+$\frac{m}{x}$-2＞0在x∈[2，+∞）上恒成立，即：m＞-x²+2x在x∈[2，+∞）上恒成立，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．由￢p為真命題，p∧q為真命題，可知p假q真，即可得出．

解答 解：若P成立，則△=m²-4＞0，解得m＜-2或m＞2；
若q成立，不等式x+$\frac{m}{x}$-2＞0在x∈[2，+∞）上恒成立，
即：m＞-x²+2x在x∈[2，+∞）上恒成立，
設(shè)f（x）=-x²+2x，則f（x）=-（x-1）²+1，當(dāng)x=2時(shí)，f（x）_max=f（2）=0，∴m＞0．
∵￢p為真命題，p∧q為真命題，可知p假q真，
∴0＜m≤2．
故m的取值區(qū)間為（0，2]．

點(diǎn)評 本題考查了不等式的解法、二次函數(shù)的性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．