Question

14．已知橢圓G離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，兩準(zhǔn)線間距離為$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，則橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1或$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1或$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），運(yùn)用離心率公式和準(zhǔn)線方程解方程可得a，c，再由a，b，c的關(guān)系，可得b，進(jìn)而得到所求橢圓方程．

解答 解：設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1或$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{2{a}^{2}}{c}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
解得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1或$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1或$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和準(zhǔn)線方程，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．