Question

19．在四棱錐P-ABCD中，CD⊥平面PAD，AB∥CD，AD⊥PA，△ADC、△PAD均為等腰三角形，AD=4AB=4，M為線段CP上一點，且$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PC}$（0≤λ≤1）．
（1）若λ=$\frac{1}{4}$，求證：MB∥平面PAD；并求M到平面ABCD的距離；
（2）若λ=$\frac{1}{8}$，求二面角C-AB-M的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行判斷即可．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）若λ=$\frac{1}{4}$，則$\overrightarrow{PM}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{PC}$，
則PM=$\frac{1}{4}$PC，過M作ME∥AB交DPF于E，
則ME=$\frac{1}{4}$CD，EP=$\frac{1}{4}$DP
∵AB∥CD，AD⊥PA，△ADC、△PAD均為等腰三角形AD=4AB=4，
∴AB=$\frac{1}{4}$CD，
則AB∥ME，且AB=ME，
即四邊形ABME是平行四邊形，
則MB∥AE，
∵M(jìn)B?平面PAD，ME?平面PAD，
∴MB∥平面PAD；
∴M到平面ABCD的距離等于E到平面ABCD的距離；
過E作EF⊥AD于F，
則EF是E到平面ABCD的距離，
∵△PAD均為等腰三角形，AD=4，
∴AP=4，
∵EP=$\frac{1}{4}$DP，
∴EF=$\frac{1}{4}$AP=1，
即M到平面ABCD的距離等于1．
（2）以A為坐標(biāo)原點，以AD，AP，AB分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
則AD=4，AB=1，AP=4，
若λ=$\frac{1}{8}$，則$\overrightarrow{PM}$=$\frac{1}{8}$$\overrightarrow{PC}$，
則A（0，0，0），B（0，0，1），D（4，0，0），P（0，4，0），C（4，0，4）
則$\overrightarrow{PC}$=（4，-4，4），
設(shè)M（a，b，c），
則由$\overrightarrow{PM}$=$\frac{1}{8}$$\overrightarrow{PC}$，
得（a，b-4，c）=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
則a=$\frac{1}{2}$，b=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，c=$\frac{1}{2}$，
即M（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$，$\frac{1}{2}$），
則$\overrightarrow{AB}$=（0，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（4，0，4），$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$，$\frac{1}{2}$），
則平面CAB的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）為面ABM的一個法向量，
 則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{4x-4z=0}\\{\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=z}\\{2x+7y=0}\end{array}\right.$，
令x=7，則z=7，y=-2，
即$\overrightarrow{m}$=（7，-2，7），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-2}{1×\sqrt{{7}^{2}+（-2）^{2}+{7}^{2}}}$=$-\frac{2}{\sqrt{102}}$=-$\frac{\sqrt{102}}{51}$，
∵二面角C-AB-M銳二面角，
∴二面角C-AB-M的余弦值為$\frac{\sqrt{102}}{51}$．

點評 本題綜合考查空間中線面平行的判斷和點到平面的距離的計算和空間角的計算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解決空間角常用的方法，考查的知識面較廣，難度中等．