Question

4．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2-{（\frac{1}{2}）^x}，x≤0\\ \frac{1}{2}{x^2}-x+1，x＞0\end{array}\right.$．
（1）寫出該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-m恰有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若不等式f（x）≤n²-2bn+1對(duì)所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解．
（2）利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）與y=m的交點(diǎn)問題進(jìn)行求解，
（3）根據(jù)不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為為以B為變量的參數(shù)問題，結(jié)合一元一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）； （2分）
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-m恰有1個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于直線y=m與函數(shù)y=f（x）的圖象
恰有1個(gè)交點(diǎn)，$結(jié)合圖形．f（0）=1，f（1）=\frac{1}{2}$，（4分）
∴$m∈（{-∞，\frac{1}{2}}）∪（{1，+∞}）$； （7分）
（3）若要使f（x）≤n²-2bn+1對(duì)所有x∈[-1，1]恒成立，
則需${[{f（x）}]_{max}}≤{n^2}-2bn+1$，
而[f（x）]_max=f（0）=1，（9分）
即n²-2kn+1≥1，∴-2nb+n²≥0在b∈[-1，1]恒成立，
$\left\{\begin{array}{l}-2n×（{-1}）+{n^2}≥0\\-2n×1+{n^2}≥0\end{array}\right.$，（10分）
∴$\left\{\begin{array}{l}n≥0或n≤-2\\ n≤0或n≥2\end{array}\right.$，（11分）
∴n≤-2或n=0或n≥2．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用以及不等式恒成立問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．