Question

20．如果a＞b，給出下列不等式：①$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}$；②a³＞b³；③$\sqrt{{a}^{2}}$＞$\sqrt{^{2}}$；④2ac²＞2bc²；⑤$\frac{a}$＞1；⑥a²+b²+1＞ab+a+b．
其中一定成立的不等式的序號是②⑥．

Answer 1

分析 ①不一定成立，例如取a=2，b=-1；
②利用函數(shù)y=x³在R上單調(diào)遞增，即可判斷出正誤；
③不一定成立，例如a=1，b=-2；
④不一定成立，例如取c=0時；
⑤不一定成立，例如取a=2，b=-1；
⑥a²+b²+1＞ab+a+b化為：（a-1）²+（b-1）²＞（a-1）（b-1），配方變?yōu)?[a-1-\frac{1}{2}（b-1）]^{2}$+$\frac{3}{4}（b-1）^{2}$＞0，進(jìn)而判斷出正誤．

解答 解：①$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}$，不一定成立，例如取a=2，b=-1；
②利用函數(shù)y=x³在R上單調(diào)遞增，可知：a³＞b³，正確；
③$\sqrt{{a}^{2}}$＞$\sqrt{^{2}}$，不一定成立，例如a=1，b=-2；
④2ac²＞2bc²，不一定成立，例如取c=0時；
⑤$\frac{a}$＞1，不一定成立，例如取a=2，b=-1；
⑥a²+b²+1＞ab+a+b化為：（a-1）²+（b-1）²＞（a-1）（b-1），∴$[a-1-\frac{1}{2}（b-1）]^{2}$+$\frac{3}{4}（b-1）^{2}$＞0，∵b=1時，a＞1，∴左邊恒大于0，成立．
其中一定成立的不等式的序號是②⑥．
故答案為：②⑥

點評 本題考查了不等式的性質(zhì)、取特殊值法、配方法、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．