Question

11．已知平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，則$\overrightarrow{MC}$•$\overrightarrow{MD}$的值為（　�。�

• A． -$\frac{1}{3}$
• B． $\frac{4}{9}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{1}{9}$

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{MC}，\overrightarrow{MD}$，再代入平面向量的數(shù)量積計算公式計算．

解答 解：${\overrightarrow{AB}}^{2}$=4，${\overrightarrow{AD}}^{2}$=1，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=2×1×cos60°=1．
∵$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，∴$\overrightarrow{MB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$．
∴$\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$．
∴$\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{MD}$=（$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$）=-$\frac{2}{9}{\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{AD}}^{2}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=-$\frac{8}{9}$+1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$．
故選：B．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，平面向量的線性運算的幾何意義，屬于中檔題．