Question

19．在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)，P分別為棱DD₁，CD，B₁C的中點(diǎn)．求四面體B-PEF的體積．

Answer 1

分析 取CC₁中點(diǎn)M，連結(jié)PM，EM，則四面體B-PEF的體積等于棱錐E-BCMP的體積減去棱錐P-CMEF和棱錐P-BCF的體積．

解答 解：取CC₁中點(diǎn)M，取BC中點(diǎn)N，連結(jié)PM，EM，PN，
則四邊形BCMP和四邊形CMEF是直角梯形，PM=PN=CF=$\frac{1}{2}$，EM=BC=1，且PM⊥平面CMEF，PN⊥平面BCF，
∴S_梯形BCMP=$\frac{1}{2}$（PM+BC）•MC=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2}$+1）×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$，
S_梯形CMEF=$\frac{1}{2}$（EM+FC）•MC=$\frac{1}{2}$×（1+$\frac{1}{2}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$，
∴V_棱錐E-BCMP=$\frac{1}{3}$•S_梯形BCMP•EM=$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{8}$×1=$\frac{1}{8}$，
V_棱錐P-CMEF=$\frac{1}{3}$•S_梯形CMEF•PM=$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{8}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{16}$，
V_棱錐P-BCF=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×FC×BC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{24}$．
∴V_棱錐B-PEF=V_棱錐E-BCMP-V_棱錐P-CMEF-V_棱錐P-BCF=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{16}$-$\frac{1}{24}$=$\frac{1}{48}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間幾何體的體積的體積計(jì)算，作差法是求不規(guī)則幾何體體積的一種常用方法．