【題目】設(shè)橢圓為左、右焦點(diǎn),為短軸端點(diǎn),且,離心率為,為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓的方程,

(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn),,且滿足?若存在,求出該圓的方程,若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)由題意可得方程2cb=4,e,且a2b2+c2;從而聯(lián)立解出橢圓C的方程為1;

(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓x2+y2r2,使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)M、N,則可得0;再設(shè)Mx1,y1),Nx2,y2),當(dāng)切線斜率存在時(shí),設(shè)該圓的切線的方程為ykx+m,與橢圓聯(lián)立利用韋達(dá)定理及條件可得3m2﹣8k2﹣8=0,代入△從而可解得m的范圍,進(jìn)而解出所求圓的方程,再驗(yàn)證當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)也成立即可.

(1))∵橢圓C1(ab>0),

由題意可得,

2cb=4,e,且a2b2+c2;

聯(lián)立解得,;

故橢圓C的方程為1;

(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓x2+y2r2

使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)M、N

∵||=||,

0;

設(shè)Mx1,y1),Nx2,y2),

當(dāng)切線斜率存在時(shí),設(shè)該圓的切線的方程為ykx+m,

解方程組得,

(1+2k2x2+4kmx+2m2﹣8=0,

則△=(4km2﹣4(1+2k2)(2m2﹣8)=8(8k2m2+4)>0;

即8k2m2+4>0;

x1+x2,x1x2;

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+kmx1+x2)+m2

要使0,

x1x2+y1y2=0;

0;

所以3m2﹣8k2﹣8=0,

所以3m2﹣8≥0且8k2m2+4>0;

解得mm;

因?yàn)橹本ykx+m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,

所以圓的半徑為r,r2;

r;

即所求圓的方程為x2+y2

此時(shí)圓的切線ykx+m都滿足mm;

而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為x=±與橢圓1的兩個(gè)交點(diǎn)為(,±),(,±);

滿足0,

綜上所述,存在圓心在原點(diǎn)的圓x2+y2滿足條件.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】下列結(jié)論中不正確的是( )

A.若兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),則它們有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

B.若已知四個(gè)點(diǎn)不共面,則其中任意三點(diǎn)不共線

C.若點(diǎn)既在平面內(nèi),又在平面內(nèi),則相交于,且點(diǎn)

D.任意兩條直線不能確定一個(gè)平面

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1)若圍墻AP,AQ總長(zhǎng)度為200米,如何圍可使得三角形地塊APQ的面積最大?

2)已知AP段圍墻高1米,AQ段圍墻高1.5米,造價(jià)均為每平方米100.若圍圍墻用了20000元,問(wèn)如何圍可使竹籬笆用料最省?

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【題目】已知函數(shù)的圖像如圖所示,關(guān)于有以下5個(gè)結(jié)論:

1;(2,;(3)將圖像上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位得到的圖形所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù);(4)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有;(5)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有;其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是(

A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4)(5)C.(1)(2)(4)D.(1)(3)(4)(5)

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【題目】設(shè),.已知函數(shù),.

(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)已知函數(shù)的圖象在公共點(diǎn)(x0,y0)處有相同的切線,

(i)求證:處的導(dǎo)數(shù)等于0;

(ii)若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立,求b的取值范圍.

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【題目】“微信運(yùn)動(dòng)”是手機(jī)推出的多款健康運(yùn)動(dòng)軟件中的一款,某學(xué)校140名老師均在微信好友群中參與了“微信運(yùn)動(dòng)”,對(duì)運(yùn)動(dòng)10000步或以上的老師授予“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào),低于10000步稱為“參與者”,為了解老師們運(yùn)動(dòng)情況,選取了老師們?cè)?月28日的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:

運(yùn)動(dòng)達(dá)人

參與者

合計(jì)

男教師

60

20

80

女教師

40

20

60

合計(jì)

100

40

140

(Ⅰ)根據(jù)上表說(shuō)明,能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為獲得“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)與性別有關(guān)?

(Ⅱ)從具有“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”稱號(hào)的教師中,采用按性別分層抽樣的方法選取10人參加全國(guó)第四屆“萬(wàn)步有約”全國(guó)健走激勵(lì)大賽某賽區(qū)的活動(dòng),若從選取的10人中隨機(jī)抽取3人作為代表參加開(kāi)幕式,設(shè)抽取的3人中女教師人數(shù)為,寫出的分布列并求出數(shù)學(xué)期望.

參考公式:,其中.

參考數(shù)據(jù):

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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)求直線C1的普通方程和圓C2的圓心的極坐標(biāo);

)設(shè)直線C1和圓C2的交點(diǎn)為A,B,求弦AB的長(zhǎng).

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①當(dāng)平面ABE∥平面CDF時(shí),AC∥平面BFDE

②當(dāng)平面ABE∥平面CDF時(shí),AE∥CD

③當(dāng)A、C重合于點(diǎn)P時(shí),PG⊥PD

④當(dāng)A、C重合于點(diǎn)P時(shí),三棱錐P-DEF的外接球的表面積為150

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(1)用正弦定理證明: ;

2)若,求的長(zhǎng).

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