Question

已知函數(shù)f（x）=

6-ax

a-2

（a∈R）
①若a＞0，則f（x）的定義域是

（-∞，

6

a

]

；
②若f（x）在區(qū)間（0，2]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（-∞，0）∪（2，3]

．

Answer 1

分析：①要使函數(shù)有意義，需被開(kāi)放數(shù)大于或等于零，解不等式即可得函數(shù)定義域
②此函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，外層函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性都與a有關(guān)，故需討論a的正負(fù)及a與2的大小，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，（0，2]應(yīng)為函數(shù)減區(qū)間的子區(qū)間，即可解得a的范圍

解答：解：①欲使函數(shù)f（x）=

6-ax

a-2

（a∈R）成立，需滿足6-ax≥0，即ax≤6．
∵a＞0，∴x≤

6

a

，
∴f（x）的定義域是（-∞，

6

a

]，
故答案為（-∞，

6

a

]
②函數(shù)f（x）=

6-ax

a-2

（a∈R）
若a＞2，則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，

6

a

]，
內(nèi)層函數(shù)t=6-ax為減函數(shù)，外層函數(shù)y=

t

a-2

為增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）在（-∞，

6

a

]上為減函數(shù)，
∴（0，2]⊆（-∞，

6

a

]，
∴

6

a

≥2，即2＜a≤3
若a=0，則函數(shù)為常函數(shù)，不合題意
若0＜a＜2，則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，

6

a

]，
內(nèi)層函數(shù)t=6-ax為減函數(shù)，外層函數(shù)y=

t

a-2

為減函數(shù)，
故函數(shù)f（x）在（-∞，

6

a

]上為增函數(shù)，
不合題意
若a＜0，則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?span id="ld7ltnv" class="MathJye">

6

a

，+∞]，
內(nèi)層函數(shù)t=6-ax為增函數(shù)，外層函數(shù)y=

t

a-2

為減函數(shù)，
故函數(shù)f（x）在（

6

a

，+∞]上為減函數(shù)，
∴（0，2]⊆（

6

a

，+∞]，
∴

6

a

≤0，即a＜0
故答案為（-∞，0）∪（2，3]

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域的求法，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，分類(lèi)討論的思想方法