Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n（S_n≠0），a₁=$\frac{1}{2}$，且對(duì)任意正整數(shù)n，都有a_n+1+S_nS_n+1=0，則a₁+a₂₀=（　�。�

• A． $\frac{209}{420}$
• B． $\frac{19}{21}$
• C． $\frac{23}{42}$
• D． $\frac{13}{42}$

Answer 1

分析 由a_n+1+S_nS_n+1=0可得S_n+1-S_n+S_nS_n+1=0，從而證明數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，從而解得．

解答 解：∵a_n+1+S_nS_n+1=0，
∴S_n+1-S_n+S_nS_n+1=0，
∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=1，
故數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
故$\frac{1}{{S}_{n}}$=n+1，
故S_n=$\frac{1}{n+1}$，
故a₁+a₂₀=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{21}$-$\frac{1}{20}$=$\frac{209}{420}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的應(yīng)用及構(gòu)造法的應(yīng)用，屬于中檔題．