Question

16．已知圓C的方程為x²+y²=4．
（1）求過點P（1，2）且與圓C相切的直線l的方程；
（2）直線l過點P（1，2），且與圓C交于A，B兩點，若|AB|=2$\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（3）M是圓C上的動點，定點N的坐標為（0，1），若Q為線段MN的中點，求動點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可設切線l的方程為y-2=k（x-1），利用圓心到切線的距離等于半徑求得k值，則切線方程可求；
（2）當直線l垂直于x軸時，求得直線l的方程，并檢驗；當直線l不垂直于x軸時，設其方程為y-2=k（x-1），結合直線與圓的位置關系，利用弦長公式即可求得k值，從而直線l的方程；
（3）設MN中點Q（x，y），則M（2x-4，2y），代入圓的方程即得線段MN中點Q的軌跡方程．

解答 解：（1）由題意可知，所求切線的斜率存在，設切線l的方程為y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
由$\frac{|-k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$，得k=0或k=-$\frac{4}{3}$．
∴直線l的方程為y=2或$-\frac{4}{3}x-y+\frac{4}{3}+2=0$，
即y=2或4x+3y-10=0；
（2）當直線l垂直于x軸時，則此時直線方程為x=1，l與圓的兩個交點坐標為 （1，$\sqrt{3}$），和 （1，-$\sqrt{3}$），其距離為2$\sqrt{3}$，滿足題意．
當直線l不垂直于x軸，設其方程為y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
設圓心到此直線的距離為d，則2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{4-6616611^{2}}$，解得d=1，
∴$\frac{|-k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得k=$\frac{3}{4}$，
故此時直線l的方程為$\frac{3}{4}$x-y-$\frac{3}{4}$+2=0，即 3x-4y+5=0，
故直線l的方程為：x=1或3x-4y+5=0；
（3）圓x²+y²=4 上動點M及定點N（0，1），
設MN中點Q（x，y），則M（2x，2y-1），代入圓的方程得4x²+（4y-1）²=4．
∴線段MN中點Q的軌跡方程是：4x²+（4y-1）²=4．

點評 本題考查直線與圓的位置關系的應用，考查點到直線距離公式的應用，訓練了代入法求動點的軌跡方程，是中檔題．