Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow$=（cosφ，sinφ）
（1）若|θ-φ|=$\frac{π}{3}$，求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|的值；
（2）若θ+φ=$\frac{π}{3}$，記f（θ）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]．當(dāng)1≤λ≤2時，求f（θ）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運算和向量的模以及兩角和差即可求出答案，
（2）根據(jù)向量的數(shù)量積和二倍角公式化簡得到f（θ）=2cos²（θ-$\frac{π}{3}$）-2λcos（θ-$\frac{π}{6}$）-1，令t=cos（θ-$\frac{π}{6}$），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow$=（cosφ，sinφ），
∴$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$=（cosθ-cosφ）+（sinθ-sinφ），
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|²=（cosθ-cosφ）²+（sinθ-sinφ）²=2-2cos（θ-φ）=2-2cos$\frac{π}{3}$=2-1=1，
∴|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=1；
（2）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cosθcosφ+sinθsinφ=cos（θ-φ）=cos（2θ-$\frac{π}{3}$），
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{2+2cos（θ-φ）}$=2|cos（θ-$\frac{π}{6}$）|=2cos（θ-$\frac{π}{6}$），
∴f（θ）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-λ|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=cos（2θ-$\frac{π}{3}$）-2λcos（θ-$\frac{π}{6}$）=2cos²（θ-$\frac{π}{3}$）-2λcos（θ-$\frac{π}{6}$）-1
令t=cos（θ-$\frac{π}{6}$），則t∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（t）=2t²-2λt-1=2（t-$\frac{λ}{2}$）²-$\frac{{λ}^{2}}{4}$-1，
又1≤λ≤2，$\frac{1}{2}$≤$\frac{λ}{2}$≤1
∴t=$\frac{λ}{2}$時，f（t）有最小值-$\frac{{λ}^{2}}{4}$-1，
∴f（θ）的最小值為-$\frac{{λ}^{2}}{4}$-1．

點評 本題考查了向量的坐標(biāo)運算和向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的化簡，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．