Question

3．已知四面體ABCD中，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，$AB=2\sqrt{2}$，AC=3，AD=4，則四面體ABCD的體積V=4．

Answer 1

分析 作∠CAD的平分線AE，交CD于E，作BO⊥平面ACD，交AE于O，作BM⊥AD，交AD于M，作BF⊥AC，交AC于F，連結OM，OF，由三垂線定理得OM⊥AD，OF⊥AC，由此能求出四面體ABCD的體積．

解答 解：作∠CAD的平分線AE，交CD于E，作BO⊥平面ACD，交AE于O，
作BM⊥AD，交AD于M，作BF⊥AC，交AC于F，連結OM，OF，
∵四面體ABCD中，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，$AB=2\sqrt{2}$，AC=3，AD=4，
∴CD=5，由三垂線定理得OM⊥AD，OF⊥AC，
∴AM=AF=$\frac{1}{2}AB$=$\sqrt{2}$，BM=BF=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
OM=OF=$\sqrt{2}$，BO=$\sqrt{（\sqrt{6}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=2，
∴四面體ABCD的體積：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ADC}×BO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×4×2$=4．
故答案為：4．

點評 本題考查四面體的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意勾股定理、三垂線定理的合理運用．