Question

7．已知函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$，
（1）若該函數(shù)為奇函數(shù)，求a；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；
（3）若f（x）＞1-x在[0，+∞]上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接利用奇函數(shù)的定義列式求得a值；
（2）函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$為（-∞，+∞）上的增函數(shù)．利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明；
（3）把f（x）＞1-x在[0，+∞）上恒成立，轉(zhuǎn)化為a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$＞1-x在[0，+∞）上恒成立，即a＞$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+1-x在[0，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+1-x，利用導數(shù)求其最大值得a的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$為奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=$a-\frac{2}{{2}^{-x}+1}+a-\frac{2}{{2}^{x}+1}=2a-\frac{{2}^{x+1}}{{2}^{x}+1}-\frac{2}{{2}^{x}+1}$=$2a-\frac{2（{2}^{x}+1）}{{2}^{x}+1}=2（a-1）=0$恒成立，得a=1；
（2）函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$為（-∞，+∞）上的增函數(shù)．
證明：設(shè)x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$a-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}-a+\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}=\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$，$（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）＞0$，
則$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}＜0$，∴f（x₁）＜f（x₂），即函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$為（-∞，+∞）上的增函數(shù)；
（3）若f（x）＞1-x在[0，+∞）上恒成立，則a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$＞1-x在[0，+∞）上恒成立，
即a＞$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+1-x在[0，+∞）上恒成立，
令g（x）=$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+1-x，則g′（x）=$\frac{-{2}^{x+1}ln2}{（{2}^{x}+1）^{2}}-1$＜0，
∴g（x）=$\frac{2}{{{2^x}+1}}$+1-x在[0，+∞）上為減函數(shù)，則f（x）_max=g（0）=2．
∴a＞2．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查了恒成立問題的求解方法，訓練了分離變量法，是中檔題．