Question

20．已知函數f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$），其導函數f'（x）的部分圖象如圖所示，則函數f（x）的解析式為（　　）

• A． $f（x）=cos（2x-\frac{π}{6}）$
• B． $f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$
• C． $f（x）=\frac{1}{2}cos（2x+\frac{π}{6}）$
• D． $f（x）=\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{6}）$

Answer 1

分析 根據已知中函數f′（x）=Aωcos（ωx+ϕ）的圖象，可分析出函數的最值，確定A的值，分析出函數的周期，確定ω的值，將（$\frac{π}{3}$，0）代入解析式，結合|ϕ|＜$\frac{π}{2}$，可求出ϕ值，進而求出函數的解析式．

解答 解：∵f（x）=Asin（ωx+ϕ），
∴f′（x）=Aωcos（ωx+ϕ），
由圖可得：函數f′（x）=Aωcos（ωx+ϕ）的最大值ωA=1，
又∵$\frac{T}{4}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$，ω＞0，
∴T=π，ω=2，可得：A=$\frac{1}{2}$，
∴f′（x）=cos（2x+ϕ），
將（$\frac{π}{3}$，0）代入f′（x）=cos（2x+ϕ），得cos（$\frac{2π}{3}$+ϕ）=0，
即$\frac{2π}{3}$+ϕ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即ϕ=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∵|ϕ|＜$\frac{π}{2}$，
∴ϕ=-$\frac{π}{6}$，
∴f′（x）=cos（2x-$\frac{π}{6}$），
∴f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
故選：D．

點評 本題主要考查的知識點是由函數的部分圖象求三角函數解析式的方法，其中關鍵是要根據圖象分析出函數的最值，周期等，進而求出A，ω和φ值，考查了數形結合思想，屬于中檔題．