Question

1．已知冪函數(shù)f（x）=（-2m²+m+2）x^-2m+1為偶函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=f（x）-2（a-1）x+1在區(qū)間（2，3）上有最小值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）為冪函數(shù)知-2m²+m+2=1，結(jié)合冪函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，進(jìn)行取舍，可得f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=f（x）-2（a-1）x+1在區(qū)間（2，3）上有最小值，則2＜a-1＜3，解得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）為冪函數(shù)知-2m²+m+2=1，
得m=1或$m=-\frac{1}{2}$
當(dāng)m=1時，f（x）=x²，符合題意：
當(dāng)$m=-\frac{1}{2}$時，$f（x）={x^{\frac{1}{2}}}$，不合題意，舍去．
∴f（x）=x²
（2）由（1）得y=x²-2（a-1）x=1，
即函數(shù)的對稱軸為x=a-1，
由題意知y=x²-2（a-1）x+1在（2，3）上有最小值，
所以2＜a-1＜3
即3＜a＜4．

點評 本題考查的知識點是冪函數(shù)的解析式，冪函數(shù)的奇偶性，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．