Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$在正方形網(wǎng)格中的位置圖所示．
（1）求作向量$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$，其中$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$；
（2）求向量$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$的夾角．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量加法和減法的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可．
（2）建立空間坐標(biāo)系，求出向量的向量坐標(biāo)，結(jié)合向量數(shù)量積的夾角關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）根據(jù)向量加法的運(yùn)算法則得以$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$向量所在的線段為邊作平行四邊形，
則對角線OD對應(yīng)的向量為$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，
連接AB，則$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$；
（2）建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的直角坐標(biāo)系如圖：
則$\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow$=（2，2），$\overrightarrow{c}$=（-1，1），
則$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（4，2），$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$=（3，-1）；
則$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=4×3-1×2=12-2=10，
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{10}{\sqrt{16+4}•\sqrt{9+1}}=\frac{10}{\sqrt{20}•\sqrt{10}}=\frac{10}{10\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{π}{4}$，
則向量$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$的夾角是$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查向量的四則運(yùn)算以及向量數(shù)量積的應(yīng)用，建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法是解決本題的關(guān)鍵．