Question

20．設(shè)點（a，b）是區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$內(nèi)的任意一點，則使函數(shù)f（x）=ax²-2bx+3在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)的概率為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，求出函數(shù)f（x）=ax²-2bx+3在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)的等價條件，求出對應(yīng)的面積，根據(jù)幾何概型的概率公式進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
若f（x）=ax²-2bx+3在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-\frac{-2b}{2a}=\frac{a}≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a-2b≥0}\end{array}\right.$，
則A（0，4），B（4，0），由$\left\{\begin{array}{l}{a+b-4=0}\\{a-2b=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{8}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
即C（$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$），
則△OBC的面積S=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$．
△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$×4×4=8．
則使函數(shù)f（x）=ax²-2bx+3在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)的概率P=$\frac{{S}_{△OBC}}{{S}_{△OAB}}$=$\frac{\frac{8}{3}}{8}=\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題主要考查幾何概型的概率的概率公式，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，求出對應(yīng)的面積是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．