Question

已知函數(shù)y=

1

2

cos²x+

3

2

cosxsinx+1，x∈R．
（1）求函數(shù)y的值域，并求出y取得最大值時x的集合；
（2）寫出該函數(shù)圖象如何由y=sinx（x∈R）的圖象變換得到的．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)倍角公式和兩角和的正弦公式可求函數(shù)的解析式，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)的最大和最小值，同時可求得函數(shù)取最大時x的值．
（2）利用平移規(guī)律及圖象變換規(guī)律即可得到結(jié)果．

解答： 解：（1）∵y=

1

2

cos²x+

3

2

cosxsinx+1=

1+cos2x

4

+

3

4

sin2x+1=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，
∵sin（2x+

π

6

）∈[-1，1]，
∴y=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

∈[

3

4

，

7

4

]，
∴可解得：2x+

π

6

=2kπ+

π

2

即x=kπ+

π

6

，k∈Z時，y_max=

7

4

．
（2）把y=sinx的圖象向左平移

π

6

，可得函數(shù)y=sin（x+

π

6

）的圖象；
把函數(shù)y=sin（x+

π

6

）的圖象橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="ec2m20a" class="MathJye">

1

2

，縱坐標不變，可得到函數(shù)y=sin（2x+

π

6

）的圖象；
把函數(shù)y=sin（2x+

π

6

）的圖象縱坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="2eowecw" class="MathJye">

1

2

，橫坐標不變，可得到函數(shù)=

1

2

sin（2x+

π

6

）的圖象；
再把函數(shù)=

1

2

sin（2x+

π

6

）的圖象向上平移

5

4

個單位即可得到y(tǒng)=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

的圖象．

點評：本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．