Question

19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，且AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，且N為PC的中點．
（Ⅰ）證明：MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求證：平面PMC⊥平面PAD；
（Ⅲ）求直線AN與平面PMC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取PB，BC中點E，F(xiàn)，連EN，AE，AF，由N為PC中點，說明EN∥BC，證明EN∥AM．推出MN∥AE，然后證明MN∥面PAB．
（2）說明AF⊥BC，證明CM⊥AD．推出CM⊥PA．證明CM⊥面PAD，然后證明面PMC⊥面PAD．
（3）過A作AG⊥PM，垂足為G．推出AG⊥面PMC，連接AN，GN．說明∠ANG為AN與平面PMC所成角．Rt△ANG中求解AN與平面PMC所成角正弦值即可．

解答 解：（1）證明：取PB，BC中點E，F(xiàn)，連EN，AE，AF，由N為PC中點，
所以EN∥BC，且$EN=\frac{1}{2}BC=2$．由AM=2MD，AC=3，則AM=2，
又AD∥BC，則EN∥AM．
所以四邊形ENMA為平行四邊形，所以MN∥AE，且AE?面PAB，MN?面PAB，
則MN∥面PAB．
（2）證明：∵AB=AC，∴AF⊥BC，又AM∥FC，AM=FC=2所以四邊形AFCM為平行四邊形，故CM⊥AD．
又∵PA⊥面ABCD．CM?面ABCD，∴CM⊥PA．又AD∩PA=A，所以CM⊥面PAD，
∵CM?面ABCD，∴面PMC⊥面PAD．
（3）過A作AG⊥PM，垂足為G．由（2）知面PMC⊥面PAD，面PMC∩面PAD=PM，
AG?面PAD，∴AG⊥面PMC，連接AN，GN．
則GN為AN在平面PMC上的射影，∴∠ANG為AN與平面PMC所成角．
Rt△ANG中$AN=\frac{1}{2}PC$=$\frac{1}{2}\sqrt{P{A^2}+A{C^2}}=\frac{5}{2}$，
$AG=\frac{PA•AM}{{\sqrt{P{A^2}+A{M^2}}}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，
$sin∠ANG=\frac{AG}{AN}=\frac{{8\sqrt{5}}}{25}$，
∴AN與平面PMC所成角正弦值為$\frac{{8\sqrt{5}}}{25}$．

點評 本題考查直線與平面所成角，直線與平面平行以及垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力．