Question

20．橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，若F關(guān)于直線$\sqrt{3}x$+y=0的對(duì)稱點(diǎn)A是橢圓C上的點(diǎn)，則橢圓C的離心率為$\sqrt{3}-1$．

Answer 1

分析 設(shè)對(duì)稱點(diǎn)A，由函數(shù)的對(duì)稱性，求得m和n，代入橢圓方程即可求得e⁴-8e²+4=0，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F（-c，0）關(guān)于直線$\sqrt{3}x$+y=0的對(duì)稱點(diǎn)A（m，n），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m+c}•（-\sqrt{3}）=-1}\\{\sqrt{3}•\frac{m-c}{2}+\frac{n}{2}=1}\end{array}\right.$，
∴m=$\frac{c}{2}$，n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
代入橢圓方程可得$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{3c}{4^{2}}=1$，a²=b²+c²，
化簡(jiǎn)可得e⁴-8e²+4=0，
∴e=$\sqrt{3}$-1，
故答案：$\sqrt{3}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的對(duì)稱性，考查橢圓的離心率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．