Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx-1（其中a＞0且a為常數(shù)）
（1）若曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線與在點（$\frac{3}{2}$，f（$\frac{3}{2}$））的切線平行，求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）有零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，利用曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線與在點（$\frac{3}{2}$，f（$\frac{3}{2}$））的切線平行，建立方程，即可求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）有零點，利用其最小值小于等于0，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx-1，
∴f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
∵曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線與在點（$\frac{3}{2}$，f（$\frac{3}{2}$））的切線平行，
∴$\frac{3-a}{9}=\frac{\frac{3}{2}-a}{\frac{9}{4}}$，∴a=3.5；
（2）f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$＞0，∴x＞a，函數(shù)單調(diào)遞增，0＜x＜a，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（a）=lna，
∵函數(shù)f（x）有零點，
∴l(xiāng)na≤0，
∴0＜a≤1．

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．