Question

12．已知直線y=-x+1與橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，線段AB的長為$\frac{{8\sqrt{3}}}{5}$，求橢圓的方程；
（2）若向量$\overrightarrow{OA}$與向量$\overrightarrow{OB}$互相垂直（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)橢圓的離心率e∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$]時(shí)，求橢圓的長軸長的最大值．

Answer 1

分析 （1）$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a²=b²+c²，化為：$a=\sqrt{3}c$，b=$\sqrt{2}$c．橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{3{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2{c}^{2}}$=1，可得2x²+3y²=6c²．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：5x²-6x+3-6c²=0，利用|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{{8\sqrt{3}}}{5}$，解出即可得出．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（b²+a²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（-x₁+1）（-x₂+1）=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，化簡進(jìn)而得出．

解答 解：（1）∵$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a²=b²+c²，化為：$a=\sqrt{3}c$，b=$\sqrt{2}$c．
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{3{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2{c}^{2}}$=1，可得2x²+3y²=6c²．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{2{x}^{2}+3{y}^{2}=6{c}^{2}}\end{array}\right.$，化為：5x²-6x+3-6c²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{6}{5}$，x₁•x₂=$\frac{3-6{c}^{2}}{5}$，
∴|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[\frac{36}{25}-\frac{4（3-6{c}^{2}）}{5}]}$=$\frac{{8\sqrt{3}}}{5}$，解得c²=1．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：（b²+a²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
△=4a⁴-4（b²+a²）（a²-a²b²）＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，x₁x₂，=$\frac{{a}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$．
∵$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（-x₁+1）（-x₂+1）=2x₁x₂-（x₁+x₂）+1
=2×$\frac{{a}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$-$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$+1=0，
∴a²+b²-2a²b²=0，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2{a}^{2}-1}$．
∵e∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$]，∴${e}^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$=1-$\frac{1}{2{a}^{2}-1}$∈$[\frac{1}{4}，\frac{1}{2}]$，
∴$\frac{7}{6}$≤a²≤$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{42}}{6}$≤a≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴2a∈$[\frac{\sqrt{42}}{3}，\sqrt{6}]$．
∴橢圓的長軸長的最大值是$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓的相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．