Question

【題目】已知點(diǎn)是圓：上任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，線段的垂直平分線與交于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)使以為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 在軸上存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn).

【解析】試題分析：（1）由圓的方程求出F1、F2的坐標(biāo)，結(jié)合題意可得點(diǎn)M的軌跡C為以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，并求得a，c的值，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；

（2）直線l的方程可設(shè)為，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出A，B橫坐標(biāo)的和與積，假設(shè)在y軸上是否存在定點(diǎn)Q（0，m），使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)，可得即．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得m值，即定點(diǎn)Q得坐標(biāo)．

試題解析：

解：（1）由題意得，

∴點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓

∵，

∴

∴點(diǎn)的軌跡的方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)其方程為，設(shè)

聯(lián)立可得，

由求根公式可得

假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)，

則即

∵

，

，

由解得

∴在軸上存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn).

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)可知也滿足以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).

因此在軸上存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn).