Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，|BC|=4，|AC|=3，一曲線E過點A，動點P在曲線E運(yùn)動，且保持|PC|+|PB|的值不變．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；
（2）若直線l交曲線E于M、N兩點，曲線E與y軸正半軸交于Q點，且△QMN的重心恰好為B點，求線段MN中點的坐標(biāo)；
（3）以V（-6，-6）為圓心的圓與曲線E交于R、S兩點，求RS中點T的軌跡方程．

Answer 1

考點：圓錐曲線的軌跡問題,橢圓的應(yīng)用,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓的定義即可得出；
（2）利用重心定理即可得出；
（3）利用“點差法”、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可得出．

解答： 解：（1）以CB所在直線為x軸，CB中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y）．
∴|PC|+|PB|=|AC|+|AB|=3+5=8＞4=|BC|，
∴動點P軌跡為橢圓，c=2，a=4，b=2

3

．
∴曲線E的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
又Q(0， 2

3

)，B（2，0）．
∴由重心公式得

2= 0+x1+x2 3 0= 2 3 +y1+y2 3

，則

x1+x2=6 y1+y2=-2 3

，
∴MN中點為(3， -

3

)．
（3）設(shè)R（x₃，y₃），S（x₄，y₄），T（x，y）．
由

x 2 3 16 + y 2 3 12 =1 x 2 4 16 + y 2 4 12 =1

，
相減化簡得

(x3-x4)•2x

16

=-

(y3-y4)•2y

12

，
即kRS•y=-

3

4

x；①
由VT⊥RS，得k_RS•k_VT=-1，即kRS•

y+6

x+6

=-1．②
由①、②化簡得xy-18x+24y=0，并且滿足

x2

16

+

y2

12

＜1．

點評：本題考查了橢圓的定義、重心定理、“點差法”、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．