分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(Ⅱ)求函數(shù)g(x)=x2-f(x)=ax-lnx的導(dǎo)函數(shù),然后分a≤0、0<a≤$\frac{1}{e}$、a>$\frac{1}{e}$三種情況求解a的值得答案.
解答 解:(Ⅰ)∵a=1,∴f(x)=x2+x-lna,
∴f′(x)=2x+1-$\frac{1}{x}$=$\frac{(2x-1)(x+1)}{x}$,
∵函數(shù)定義域?yàn)椋?,+∞),
∴f′(x)≥0等價(jià)于(2x+1)(x+1)≥0,
∴當(dāng)x≥$\frac{1}{2}$時(shí),f′(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)0<x<$\frac{1}{2}$時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.
∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是[$\frac{1}{2}$,+∞),遞減區(qū)間是(0,$\frac{1}{2}$).
(Ⅱ)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使g(x)=x2-f(x)=ax-lnx(x∈(0,e])的最小值為3.
g′(x)=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$,
①當(dāng)a≤0時(shí),g(x)在(0,e]上單調(diào)遞減,此時(shí)g(x)min=g(e)=ae-1=3,
∴a=$\frac{4}{e}$>0不滿足條件,舍去;
②當(dāng)0<a≤$\frac{1}{e}$時(shí),$\frac{1}{a}$≥e,g(x)在(0,e]上單調(diào)遞減,此時(shí)g(x)min=g(e)=ae-1=3,
∴a=$\frac{4}{e}$不滿足條件,舍去;
③當(dāng)a>$\frac{1}{e}$時(shí),0<$\frac{1}{a}$<e,g(x)在(0,$\frac{1}{a}$)上單調(diào)遞減,在($\frac{1}{a}$,e]上單調(diào)遞增,
此時(shí)g(x)min=g($\frac{1}{a}$)=1+lna=3,∴a=e2,滿足條件.
綜上,存在實(shí)數(shù)a=e2,使得x∈(0,e]的最小值為3.
點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法,是壓軸題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{2}{3}$ | B. | $\frac{4}{3}$ | C. | $\frac{3}{2}$ | D. | 3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\sqrt{2}+\sqrt{6}$ | B. | $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ | C. | $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ | D. | $\sqrt{5}$+$\sqrt{6}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 必要條件 | B. | 充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 3y<3x | B. | logx3<logy3 | C. | log2x>log2y | D. | ${({\frac{1}{2}})^x}>{({\frac{1}{2}})^y}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | ?x0∈R,x02+2x0+3=0 | B. | x>1是x2>1的充分不必要條件 | ||
C. | ?x∈N,x3>x2 | D. | 若a>b,則a2>b2 |
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